Η πανάρχαια Ελληνική επιστήμη της Γεωμετρίας

Η Γεωμετρία δέν είναι βέβαια τό μόνο από τά αγαθά τού πολιτισμού, πού κατέλιπεν η ελληνική αρχαιότης, είναι όμως ασφαλώς τό διαχρονικώτερο. Η γεωμετρία τού Ευκλείδου, τά περίφημα «Στοιχεία», ισχύουν απαράλλακτα μέχρι σήμερα, χωρίς νά χρειασθούν αναθεωρήσεις, βελτιώσεις ή κάποιες προσθήκες. Τα «Στοιχεία» αποτελούν ένα από τά αθάνατα μνημεία τής ανθρωπίνης σοφίας, κτήμα εσαεί τών επιγιγνομένων.

Η γεωμετρία υπό τήν πρακτική καί εμπειρική της μορφήν δέν ήταν βεβαίως άγνωστος στούς αρχαίους ανατολικούς λαούς. Ο Ηρόδοτος παραδίδει ότι οι αρχαίοι Αιγύπτιοι χάρις στίς γεωμετρικές τους γνώσεις μπορούσαν νά αποκαθιστούν τά όρια τών κτημάτων τους μετά τίς ετήσιες πλημμύρες τού Νείλου. Ομως οι σχετικές γνώσεις τους ήταν ασυστηματοποίητες καί δέν ξεπερνούσαν τά όρια τής απλής εμπειρίας. Εγνώριζαν τό»πώς», αλλά δέν κατώρθωσαν ποτέ νά φθάσουν στό «διατί». Αυτήν τήν δόξαν επέπρωτο νά δρέψη η ιδιοφυϊα τών αρχαίων Ελλήνων.

Ο Θαλής ο Μιλήσιος (640-546 π.Χ.) είναι εκείνος πού εισήγαγε ή μάλλον ανεκάλυψε τήν απόδειξη τών γεωμετρικών καί μαθηματικών προτάσεων. Η εύρεσις τής αποδεικτικής μεθόδου ήταν μία από τίς μεγάλες στιγμές τής Ανθρωπότητος καί εν τούτοις πολλοί λίγοι έχουν συνειδητοποιήσει τήν καταλυτική σημασία τής καινοτομίας εκείνης στήν εξέλιξη τού ανθρωπίνου πνεύματος καί στήν ιστορία τού πολιτισμού γενικώτερον.

Ο άνθρωπος αποτινάζει σιγά-σιγά τά δεσμά τής αυθεντίας καί γίνεται αυτεξούσιος, αφού μπορεί μόνος του πλέον νά γνωρίζη, νά αποδεικνύη, νά βεβαιώνεται. Ετσι λοιπόν ο Θαλής δέν θεωρείται απλώς ως ο ευρέτης τής θεωρητικής γεωμετρίας, αλλά καί ο εισηγητής τής παγκοσμίου επιστήμης.

Ιστορικό είναι τό επίτευγμα, πού διέσωσεν ο Πλούταρχος, κατά τό οποίον ο Θαλής κατέπληξε τόν Φαραώ Αμασιν, όταν υπελόγισε  ο Πλούταρχος τό ύψος τής μεγάλης πυραμίδος εκ τού μήκους τής σκιάς, μέ τήν μέθοδο τών αναλογιών. Θά έπρεπε ο ανδριάς τού μεγάλου αυτού Μιλησίου νά κοσμή όλα τά Ανώτατα Εκπαιδευτικα Ιδρύματα, ως ελάχιστος φόρος τιμής στόν πρώτον πραγματικόν επιστήμονα τής ανθρωπότητος, πού μάλιστα εθεώρει εαυτόν ευτυχή πού εγεννήθη Ελλην.

Ο Πυθαγόρας (572-500 π.Χ.), ο μέγας αυτός φιλόσοφος, μαθηματικός καί μύστης, έδωσε νέα ώθησι στήν γεωμετρία, μισόν αιώνα αργότερα. Μάλιστα τά μισά περίπου από τά δέκα τρία βιβλία τών «Στοιχείων» τού Ευκλείδου, στηρίζονται σέ εργασίες τού Πυθαγόρου καί τής Σχολής του.

Ο Πυθαγόρας έβλεπε τήν γεωμετρία μέσα από τήν πνευματική της διάστασι, ο δέ όρκος τών νεοφύτων τού «Ομακοείου», δηλ. τής μυητικης Σχολής του, ήταν «Η Γεωμετρία νά χρησιμεύη γιά τήν πνευματική καλλιέργεια καί όχι πρός πλουτισμόν». Ονομαστόν έγινε τό Πυθαγόρειον Θεώρημα, τού οποίου τήν απόδειξιν εύρεν ο φιλόσοφος καί καταληφθείς υπό ενθουσιασμού εθυσίασε, κατά τήν παράδοσιν εκατόμβην. Τό θεώρημα αυτό εξακολουθεί ακόμη καί σήμερα νά ασκή ακαταμάχητον γοητείαν καί μέχρι τώρα έχουν καταγραφή 370 διαφορετικές αποδείξεις.

Οι αρχαίοι Ελληνες μαθηματικοί εθεώρουν τά τιθέμενα προβλήματα ως πνευματικά παίγνια καί ως καλοί αθληταί ησθάνοντο τήν υποχρέωσιν νά τιμήσουν τούς Θεούς μετά τήν νίκην των. Ετσι καί ο Θαλής, όταν απέδειξε τήν σημαντική πρότασιν ότι επί ημιπεριφερείας κύκλου βαίνει ορθή γωνία, ευγνώμων πρός τούς Θεούς εθυσίασε βούν. Είναι δύσκολο σήμερα νά συλλάβωμε ποία σημασία είχε γιά τούς αρχαίους προγόνους μας η λύσις κάποιου προβλήματος ή η ανεύρεσις τής αιτίας ενός φαινομένου. Ο Δημόκριτος έλεγε ότι προτιμά νά ανεύρη τήν αιτίαν ενός φαινομένου παρά νά τού χαρίσουν τόν θρόνον τού Μεγάλου Βασιλέως τής Περσίας. Νά μή ξεχνούμε επίσης τόν ένθεον ζήλον τού Αρχιμήδους, όταν ανήγγειλε τήν ανακάλυψι τού νόμου τής ανώσεως, μέ τό περίφημον έκτοτε καταστάν «Εύρηκα»!.

Αμέσως μετά τήν πρώτη συγκρότησι καί συστηματοποίησι τής γεωμετρίας, τρία μεγάλα προβλήματα άρχισαν νά απασχολούν τήν ελληνική φιλοσοφική διανόησι: α) Ο τετραγωνισμός τού κύκλου, β) Τό Δήλιον Πρόβλημα (ο διπλασιασμός τού κύβου) καί γ) Η τριχοτόμησις τής γωνίας. Τά μόνα επιτρεπόμενα μέσα ήσαν ο (αβαθμολόγητος) κανών καί ο διαβήτης. Τά υπόλοιπα έπρεπε νά αναλάβη η ανθρώπινη διάνοια. Ηταν καί αυτό ένα δείγμα τού υψηλού ήθους τών αρχαίων Ελλήνων μαθηματικών, μέ την πρωτοκαθεδρία πού έδιδαν στόν καθαρό λογισμό.

Τά προβλήματα αυτά έμειναν άλυτα, όμως η προβληματική περί τήν αναζήτησιν τών λύσεων ωδήγησεν εμμέσως στήν μεγάλη ανάπτυξι τής γεωμετρίας στήν κλασσική ελληνική αρχαιότητα καί μετέπειτα. Σήμερα βέβαια, μέ τό μοιρογνωμόνιο, τίς τριγωνομετρικές μεθόδους, τούς πίνακες, τούς υπολογιστάς κτλ, τά προβλήματα αυτά είναι πλέον άνευ αντικειμένου. Ομως η θεωρητική τους αξία παραμένει απαραμείωτος. Οι αρχαίοι είχαν σέ υψηλή περιωπή τήν γεωμετρία. Τήν εθεώρουν σάν απαραίτητο εργαλείο γιά τήν φιλοσοφική καί γενικώτερα τήν επιστημονική σκέψι. Στό υπέρθυρον τής Πλατωνικής Ακαδημείας, η επιγραφή «Μηδείς αγεωμέτρητος εισίτω» απεθάρρυνε τούς αμοίρους τής γεωμετρικής τέχνης νά γευθούν τά υψηλά νάματα τής φιλοσοφίας.

Μάλιστα ο Πλάτων (427-347 π.x.) εθεώρει τά μαθηματικά δώρο τών Θεών πρός τούς ανθρώπους. Εις αυτόν αποδίδεται η περίφημος φράσις: «Αεί ο Θεός γεωμετρεί», τής οποίας οι τρείς πρώτες λέξεις, κατά τρόπον παράδοξον, δίνουν τήν κατά προσέγγισιν τιμήν τού αριθμού π = 3,14. Τό «παράδοξον» δέ έγκειται εις τό ότι οι αρχαίοι Ελληνες υποτίθεται ότι αγνοούσαν τήν χρήσιν τών δεκαδικών αριθμών, καθώς δέν είχαν συλλάβει τήν έννοια τού μηδενός. Είναι όμως έτσι ή μήπως έχομε πολλά ακόμη νά μάθωμε από τήν σοφία τών αρχαίων προγόνων μας;

Ας σημειωθή ακόμη ότι ο Πλάτων, μέγας μαθηματικός ο ίδιος, ήταν εκείνος πού καθιέρωσε τήν χρήσι τού κανόνος καί τού διαβήτου, πού απετέλεσε στοιχείον εγκυρότητος γιά τίς προτεινόμενες λύσεις τών γεωμετρικών προβλημάτων καί αναγκαίαν συνθήκην διά τό πνευματικώς «εύ αγωνίζεσθαι».

Στούς Αλεξανδρινούς Χρόνους, ο Ευκλείδης (330-270 π.Χ.) με τά «Στοιχεία» του εσυστηματοποίησε καί εκωδικοποίησε όλες τίς προγενέστερες γνώσεις καί παρέδωσε στήν ανθρωπότητα ίσως τό πλέον πολυδιαβασμένο καί πολυμεταφρασμένο επιστημονικό βιβλίο. Τά «Στοιχεία» δέν είναι μόνον ένα εγχειρίδιον γεωμετρίας, όπως θά ενόμιζε κανείς. Περιέχουν επίσης τίς βάσεις τής θεωρίας τών αριθμών, στήν θεμελίωσι τής οποίας ο μέγας εκείνος «Στοιχειωτής» συνέβαλεν όσον ολίγοι. Γνωστός καί εν χρήσει ακόμη σήμερα είναι ο «Αλγόριθμος τού Ευκλείδου», γιά τήν εύρεσι τού μεγίστου κοινού διαιρέτου (ΜΚΔ), η «Ευκλείδειος Διαίρεσις» κτλ.

Σήμερα ο Ευκλείδης μέ τήν γεωμετρία του εξακολουθεί νά παραμένη επίκαιρος, παρά τήν ραγδαία μεταβολή τών αντιλήψεων περί τού χώρου καί τού σύμπαντος κόσμου. Ακόμη καί οι νέες, «μή ευκλείδειες γεωμετρίες» τού Riemann καί τού Lobatsevski δέν εστάθησαν ικανές νά αμφισβητήσουν τήν διαχρονική αξία τών «Στοιχείων», πολλώ δέ μάλλον νά τά υποκαταστήσουν.

Ακολούθησε μία πλειάς λαμπρών μαθηματικών, πού διηύρυναν τόν ορίζοντα τής γεωμετρίας, όπως οι: Ιππαρχος, Μέναιχμος, Μενέλαος, Πτολεμαίος, Ηρων, Απολλώνιος ο Περγαίος καί πολλοί άλλοι. Ιδιαίτερη μνεία πρέπει νά γίνη στόν Αρχιμήδη (284-212 π.Χ.), πού κατά πολλούς υπήρξε ο μεγαλύτερος μαθηματικός όλων τών εθνών καί όλων τών εποχών. Ακόμη ο Αλεξανδρινός Θέων, τού οποίου κόρη ήταν η περίφημος διά τήν καλλονήν της νεοπλατωνική φιλόσοφος Υπατία, εξ ίσου μεγάλη μαθηματικός καί αυτή, αποκληθείσα μάλιστα «Γεωμετρική».

Η Υπατία (370-415 μ.Χ.) υπήρξε αθώο θύμα του Χριστιανικού φανατισμού, ενώ μέ τόν Θέωνα καί τήν ιδία ετερματίσθη ουσιαστικά η συνεισφορά τών Ελλήνων στήν παγκόσμια μαθηματική επιστήμη.

Η γεωμετρία αποτελεί τό τελειότερον όργανον λογικής, στήν ουσία είναι η λογική εφηρμοσμένη. Προάγει τήν σκέψι καί τήν φαντασία, άν δέ εγκύψη κανείς στό βαθύτερο περιεχόμενό της, θά συλλάβη τό νόημα τής αρμονίας καί τής εν τώ κόσμω τάξεως. Η σκέψις γίνεται εδραία, στερεά καί αποφεύγονται οι άνευ έρματος νοητικές ακροβασίες. Μέσα από τήν γεωμετρία καί τά μαθηματικά καθίσταται ευκολωτέρα η προσπέλασις τών υψηλών φιλοσοφικών εννοιών.

Πρίν από λίγα χρόνια, σ’ ένα συνέδριο διδακτικής, ο Σοβιετικός ακαδημαϊκός Α.Δ. Αλεξανδρώφ είπε ότι εκτός από τούς μηχανικούς καί τούς αρχιτέκτονες, τούς πολεοδόμους κ.α., πρέπει νά διδάσκωνται τήν Γεωμετρία σέ πανεπιστημιακό επίπεδο καί οι ιατροί καί οι δικαστικοί. Ημείς οι σύγχρονοι Ελληνες, ως φορείς τής μεγάλης εκείνης κληρονομίας, επιβάλλεται νά επανασυνδεθούμε μέ τήν λαμπράν παράδοσιν τών αρχαίων γεωμετρών καί νά φανούμε αντάξιοί τους. Είναι η ιστορική μας οφειλή. Η καλλιέργεια τής Γεωμετρίας είναι δική μας υπόθεσις.

Δυστυχώς όμως η γεωμετρική παιδεία στήν χώρα όπου εγεννήθη, ευρίσκεται τά τελευταία χρόνια σέ πλήρη υποβάθμισι καί νοσεί επικίνδυνα. Η Γεωμετρία διδάσκεται ξηρά, αποσπασματικά καί τό χειρότερο, αποκομμένη από τίς ιστορικές της καταβολές καί τήν ευρύτερη πνευματική της διάσταση. Οπως δέ παρατηρεί η Ελληνική Μαθηματική Εταιρεία σέ πρόσφατο (Οκτώβριος 1995) διάβημά της πρός τό Παιδαγωγικό Ινστιτούτο, «Ο περιορισμός τής διδακτέας ύλης (άρα καί τής αντίστοιχης θεωρίας) τής Γεωμετρίας, όχι μόνο οδηγεί στήν υποβάθμιση τού ρόλου της, όταν είναι γνωστό ότι στήν διεθνή μαθηματική κοινότητα συμβαίνει ακριβώς τό αντίθετο, αλλά είναι βέβαιο ότι θά έχει σοβαρότατες συνέπειες στήν όλη εκπαιδευτική πράξη, αφού είναι γνωστό ότι η Γεωμετρία είναι τό κατ’ εξοχήν μάθημα, πού βοηθάει τό μαθητή νά αναπτύξει τήν ικανότητα κριτικής σκέψεως. «Αεί ο Θεός γεωμετρεί ης καί φαντασίας».

Ιωάννης-Αδωνις Μελικέρτης